Halaman
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 2 SUDUT-SUDUT BERELASI MATEMATIKA WAJIB KELAS X PENYUSUN Tinasari Pristiyanti SMA Negeri 3 Bogor
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 3 DAFTAR ISI PENYUSUN .......................................................................................................................................... 2DAFTAR ISI ......................................................................................................................................... 3GLOSARIUM ........................................................................................................................................ 4PETA KONSEP .................................................................................................................................... 5PENDAHULUAN................................................................................................................................. 6A. Identitas Modul ......................................................................................................... 6B. Kompetensi Dasar ..................................................................................................... 6C. Deskripsi Singkat Materi ........................................................................................... 6D. Petunjuk Penggunaan Modul ..................................................................................... 7E. Materi Pembelajaran .................................................................................................. 8KEGIATAN PEMBELAJARAN 1 ...................................................................................................... 9SUDUT – SUDUT BERELASI PADA KUADRAN I DAN II ......................................................... 9A.Tujuan Pembelajaran ................................................................................................. 9B.Uraian Materi ............................................................................................................ 9C.Rangkuman ............................................................................................................. 14D.Latihan Soal ............................................................................................................ 15E.Penilaian Diri .......................................................................................................... 18KEGIATAN PEMBELAJARAN 2 .................................................................................................... 19SUDUT – SUDUT BERELASI PADA KUADRAN III DAN IV ................................................... 19A.Tujuan Pembelajaran ............................................................................................... 19B.Uraian Materi .......................................................................................................... 19C.Rangkuman ............................................................................................................. 23D.Latihan Soal ............................................................................................................ 23E.Penilaian Diri .......................................................................................................... 26KEGIATAN PEMBELAJARAN 3 .................................................................................................... 27SUDUT LEBIH BESAR DARI 3600 DAN SUDUT NEGATIF ................................................... 27A.Tujuan Pembelajaran ............................................................................................... 27B.Uraian Materi .......................................................................................................... 27C.Rangkuman ............................................................................................................. 28D.Latihan Soal ............................................................................................................ 28E.Penilaian Diri .......................................................................................................... 31EVALUASI .......................................................................................................................................... 33DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................................................... 38
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 4 GLOSARIUM Trigonometri :fungsi yang menghubungkan besar sudut dengan perbandingan sisi-sisi segitaga siku-siku. Koordinat Cartesius:digunakan untuk menentukan kedudukantitik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x (absis) dan koordinat y (ordinat) dari titik tersebut. Sinus (Sin):dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o) Cosinus (Cos) :dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang terletak di sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o) Tangen (Tan/Tg) :dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi segitiga yang terletak di sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o) Kuadran:adalahseperempat lingkaran, yaitu setiap dari empat bagian suatu bidang datar yang terbagi oleh suatu sumbu silang (atau sumbu-x dan sumbu-y) Perbandingan Sudut Berelasi :Adalah perbandingan trigonometri sudut berelasi merupakan perluasan dari definisi dasar trigonometri tentang kesebangunan pada segitiga siku-siku yang hanya memenuhi untuk sudut kuadran I atau sudut lancip (0 − 90°)
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 5 PETA KONSEP Rasio Trigonometri pada Segitiga Siku-SikuPembagian Kuadran pada Koordinat CartesiusRelasi Trigonometri untuk sudut Kuadran IRelasi Trigonometri untuk sudut Kuadran IIRelasi Trigonometri untuk sudut Kuadran IIIRelasi Trigonometri untuk sudut Kuadran IVRelasi Trigonometri Sudut Lebih dari 3600Relasi Trigonometri Sudut Negatif
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 6 PENDAHULUAN A. Identitas Modul Mata Pelajaran : Matematika Umum Kelas : X Alokasi Waktu : 3 x 2 JP (3 Kegiatan pembelajaran) Judul Modul : Sudut-Sudut Berelasi B. Kompetensi Dasar 3. 8 Menggeneralisasi rasio trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran dan sudut-sudut berelasi 4.8 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan rasio trigonometri sudut-sudut di berbagai kuadran dan sudut-sudut berelasi C. Deskripsi Singkat Materi Sumber: https://img.okezone.com/content/2019/10/28/320/2122764/daftar-jembatan-ikonik-di-indonesia-dari-papua-hingga-palembang-uO4yrK1vdT.jpg Jembatan merupakan sarana yang sangat penting sebagai penghubung atau akses antar lokasi pada daerah-daerah dengan banyak sungai, atau rintangan-rintangan seperti lembah dalam, alur sungai, danau, saluran irigasi, kereta api dan jalan raya yang melintang tidak sebidang. Saat ini, petani pada beberapa daerah masih menggunakan sungai untuk mengangkut hasil panen dengan menggunakan sampan misalkan di Kalimantan. Kita dapat menaksir panjang jembatan yang akan dibangun di atas sungai menggunakan konsep sudut trigonometri. Berikut ilustrasinya:
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 7 Dengan menggunakan konsep di atas, diperoleh panjang AB dengan menggunakan sifat tangent maka diperoleh: = ⇒ 45= ⇒ = 1.Kita telah mengetahui bersama bahwa 45= 1, maka diperoleh bahwa panjang AB = BC. Kita ketahui bahwa dalam satu putaran besar sudutnya adalah 3600. Sebagai sudut putar, sudut dikelompokkan menjadi empat wilayah atau kuadran didasarkan pada besarnya sudut, yaitu: 1.Sudut-sudut yang terletak di kuadran I, yaitu sudut-sudut yang besarnya antara 00 sampai 900 atau 00 < x < 900. 2.Sudut-sudut yang terletak di kuadran II, yaitu sudut-sudut yang besarnya antara 900 sampai 1800 atau 90 < x < 1800. 3.Sudut-sudut yang terletak di kuadran III, yaitu sudut-sudut yang besarnya antara 1800 sampai 2700 atau 1800 < x < 3600. 4.Sudut-sudut yang terletak di kuadran IV, yaitu sudut-sudut yang besarnya antara 2700 sampai 3600 atau 2700 < x < 3600. 5.Selain sudut pada berbagai kuadran, terdapat pula sudut yang besarnya lebih besar dari 3600 atau sudut negatif. Pada modul kali ini kita akan mempelajari nilai trigonometri pada berbagai kuadran dan nilai-nilai sinus, cosinus dan tangen yang saling bersesuaian pada semua kuadran. D. Petunjuk Penggunaan Modul Materi bahasan pada modul ini terbagi menjadi tiga kegiatan pembelajaran, yaitu: 1.Kegiatan pembelajaran pertama membahas tentang sudut-sudut berelasi pada kuadran I dan kuadran II 2.Kegiatan pembelajaran pertama terbagi atas 2 bagian, yaitu bagian 1 membahas tentang sudut-sudut berelasi pada kuadran I. Bagian 2 membahas tentang sudut-sudut berelasi pada kuadran II. 3.Kegiatan pembelajaran kedua membahas tentang sudut-sudut berelasi pada kuadran III, kuadran IV dan sudut yang lebih besar dari 3600AB dimisalkan dengan panjang yang dibutuhkan, titik A diwakili dengan pohon/benda lain yang ada di seberang sungai yang digunakan sebagai acuan. BC adalah jarak yang sengaja dibuat untuk mentaksir panjang jembatan.
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 8 4.Kegiatan pembelajaran kedua terdiri atas 2 bagian. Bagian 1 membahas tentang sudut-sudut berelasi di kuadran III dan bagian 2 membahas tentang sudut-sudut berelasi di kuadran IV 5.Kegiatan pembelajaran ketiga membahas tentang sudut yang besarnya lebih dari 3600 dan sudut bernilai negatif. 6.Kegiatan pembelajaran ketiga terdiri atas 2 bagian. Bagian 1 membahas tentang sudut yang besarnya lebih dari 3600 dan bagian 2 membahas tentang sudut negatif. 7.Selesaikan setiap bagian dengan tuntas baru berlanjut ke bagian yang berikutnya.8.Pahami tiap kegiatan dengan tuntas, jangan melanjutkan ke kegiatan berikutnya bila masih ada yang belum dipahami. 9.Setiap kegiatan belajar dilengkapi dengan latihan yang menjadi alat ukur tingkat penguasaan kalian, setelah mempelajari modul ini. 10.Jika kalian belum menguasai 70% dari latihan pada setiap kegiatan pembelajaran, maka kalian dapat mengulanginya kembali. 11.Apabila kalian masih mengalami kesulitan dalam memahami materi yang ada dalam modul ini, silahkan anda berdiskusi dengan teman sekelas yang berada di sekitar rumah anda. E. Materi Pembelajaran Modul ini terbagi menjadi 3 kegiatan pembelajaran dan di dalamnya terdapat uraian materi, contoh soal, soal latihan, dan soal evaluasi. Pertama : Sudut-sudut berelasi pada kuadran I dan kuadran II Kedua : Sudut-sudut berelasi pada kuadran II dan kuadran IV Ketiga : Sudut-sudut berelasi yang besarnya lebih dari 3600 dan sudut negatif.
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 9 KEGIATAN PEMBELAJARAN 1 SUDUT – SUDUT BERELASI PADA KUADRAN I DAN II A.Tujuan Pembelajaran Setelah kegiatan pembelajaran 1 ini diharapkan kalian dapat: 1.Menentukan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut yang berelasi di kuadran I2.Menentukan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut yang berelasi di kuadran IIB.Uraian Materi Sumbu – sumbu pada koordinat membagi bidang koordinat menjadi empat daerah yang disebut sebagai kuadran. Berdasarkan itu maka sudut dalam sebuah koordinat Cartesius dapat dibagi menjadi 4 daerah seperti pada gambar berikut: Pembagian sudut pada tiap kuadran dapat dibagi menjadi berikut: KuadranSudutKuadran I 00 < x < 900Kuadran II 900 < x < 1800Kuadran III1800< x < 2700Kuadran IV2700< x < 3600
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 10 BAGIAN 1. SUDUT BERELASI PADA KUADRAN I Sudut untuk 0< < 90 memiliki relasi dengan sudut-sudut di kuadran I yang meliputi: a)Relasi sudut dengan sudut (90− )Perhatikan gambar berikut! Diketahui sebuah lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari r, titik P(x,y) dan = ′Untuk mendapatkan relasi sudut dengan sudut (90− ) maka titik P(x,y) dicerminkan terhadap garis y = x Berdasarkan data di atas, dan ingat kembali rasio nilai trigonometri pada segitiga siku-siku maka diperoleh: Nilai Perbandingan TrigonometriKesimpulanSudut dengan P(a,b) Sudut (90−)dengan P’(a,b) Relasi sudut dengan sudut (90−)=(90−)=(90−)==(90−)=(90−)==(90−)=(90−)=1
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 11 b)Relasi sudut dengan sudut (360+ )Perhatikan gambar berikut! Diketahui sebuah lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari r, titik P(x,y) dan = ′Untuk mendapatkan relasi sudut dengan sudut (360+ ) maka rotasikan titik P(x,y) berlawanan arah jarum jam sejauh 3600Berdasarkan data di atas, maka dapat dibuat tabel sebagai berikut! Nilai Perbandingan Trigonometri Kesimpulan Sudut dengan P(a,b) Sudut (360+)dengan P’(a,b) Relasi sudut dengan sudut (360+)=(360+)=(360+)==(360+)=(360+)==(360+)=(360+)=
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 12 BAGIAN 2. SUDUT BERELASI PADA KUADRAN II a)Relasi sudut dengan sudut (90+ )Diketahui sebuah lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari r, titik P(x,y) dan = ′Untuk mendapatkan relasi sudut dengan sudut (90+ ) maka cerminkan titik P(x,y) terhadap sumbu-y Berdasarkan data di atas, maka diperoleh: Nilai Perbandingan TrigonometriKesimpulanSudut dengan P(a,b) Sudut (90+)dengan P’(a,b) Relasi sudut dengan sudut (90+)=(90+)=(90+)==(90+)=−(90+)=−=(90+)=−(90+)=−1
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 13 b)Relasi sudut dengan sudut (180− )Diketahui sebuah lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari r, titik P(x,y) dan = ′Untuk mendapatkan relasi sudut dengan sudut (180− ) maka cerminkan titik P(x,y) terhadap sumbu-y Berdasarkan data di atas, maka diperoleh: Nilai Perbandingan TrigonometriKesimpulanSudut dengan P(a,b) Sudut (180−)dengan P’(a,b) Relasi sudut dengan sudut (180−)=(180−)=(180−)==(180−)=−180−)=−=(180−)=−(180−)=−Untuk lebih memahami relasi sudut-sudut dalam kuadran I dan II dan untuk mendapatkan nilai-nilai trigonometrinya, maka kalian perhatikan contoh berikut ini. CONTOH 1 Untuk setiap perbandingan trigonometri berikut, nyatakan dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya! a)Sin 20° b)Tan 40° c)Cos 53°
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 14 Jawab: a)Sin 20° = Sin (90° - 70°) = Cos 70° Hal ini berarti bahwa nilai Sin 20° sama dengan nilai Cos 70° b)Tan 40° = Tan (90° - 50°) = Cot 50° Hal ini berarti bahwa nilai Tan 40° sama dengan nilai Cot 50° c)Cos 53° = Cos (90° - 37°) = Sin 37° Hal ini berarti bahwa nilai Cos 53° sama dengan nilai Sin 73° CONTOH 2 Nyatakan Tan 143° dalam sudut 37° ! Jawab: Sudut 143° terletak pada kuadran II, sehingga tan 143° bernilai negatif. Tan 143° = Tan (180° − 37°) = - Tan 37° Maka Tan 143° dapat dinyatakan dalam sudut 37° sebagai -Tan 37°. CONTOH 3 Tentukan nilai dari Sin 150°. Cosec 135°. Jawab: Sudut 1500 dan 1350 keduanya berada di kuadran I, maka kita menggunakan relasi sudut di kuadran I. 150. 135= (180 − 30) .1 (180 − 45) = 30.1 45= 12.1√2= 1√2= 12√2C.Rangkuman Berdasarkan pembahasan di atas, maka sudut-sudut berelasi pada kuadran I dan II dapat disimpulkan sebagai berikut: KUADRAN I (90−)= (90− )= (90−)=1(360+)= (360+ ) = (360+ )= KUADRAN II(90+)= (90+ ) = − (90+)=−1(180−)= 180− ) = − (180−)=−
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 15 D.Latihan Soal 1.Tentukan nilai eksak dari bentuk berikut: (nyatakan dalam bentuk paling sederhana) a.cot 1500b.cos 12002.Tentukan nilai trigonometri berikut dalam sudut lancip a.sin 1650b.tan 10503.Diketahui nilai = − dan a berada dikuadran II maka tentukan nilai .4.Diketahui nilai = dan a berada dikuadran II maka tentukan nilai 5.Tentukan bentuk sederhana dari . . . 6.Tentukan bentuk sederhana dari . . .7.Tentukan nilai dari 30− 135 + 8 45 135.8.Jika x di kuadran II dan tan x = a, maka tentukan nilai sin (90+x).
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 16 PEMBAHASAN NoPembahasanSkor Maksimal1 a.150==()==−√=−√3b.120=(180−60)=−60=−5 5 2.a.165=(180−15)=15b.105=(90+15)=−1555 3.Karena a berada di kuadran II, maka 900< a < 1800. Karena a berada di kuadran II, mana nilai dari sin a adalah positif. Dengan menggunakan rasio trigonometri pada segitiga siku-siku maka diperoleh bahwa: 104.Pembahasan:Karena b berada di kuadran II, maka nilai tan b adalah negatif. Perhatikan segitiga siku-siku dibawah ini: 10 5. Pembahasan: 70.14050 20. 40 130= 70. 140 50 (90 − 70) . (180 − 140) (180 − 50)=70.1405070.(−140).(−50)=110 6.75.1515.165=75.15(90−75).(180−15)=75.15−75.−1(15)10=2√23Dengan melihat segitiga siku-siku di samping, maka diperoleh bahwa: =−2√5=−25√5Dengan melihat segitiga siku-siku disamping, maka diperoleh bahwa:
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 17 =−1.1515.15=−115=157.30−135+845135=12√2−12+812√212√2= 12−14 + 8.12=14−4=334108. Karena x berada di kuadran II, maka 900 < x < 1800, maka nilai dari Sin x adalah positif. Dengan menggunakan rasio trigonometri pada segitiga siku-siku 10 Jumlah Skor 80 Jumlah nilai ℎ100 = √+ 1Dengan melihat segitiga siku-siku di samping, maka diperoleh: Sin (90+x) = Sin x = √
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 18 E.Penilaian Diri Berilah tanda ceklist (V) pada kotak yang kalian anggap paling sesuai. Setelah mempelajari dan mengerjakan pembelajaran 1 pada modul ini, bagaimana penguasaan kalian terhadap materi-materi berikut: No Materi Tidak MenguasaiKurang MenguasaiMenguasai1 Menentukan nilai trigonometri sudut berelasi di kuadran I dalam bentuk sudut (90-x)02.Menentukan nilai trigonometrisudut berelasi di kuadran I dalam bentuk sudut (360-x)03.Menentukan nilai trigonometrisudut berelasi di kuadran II dalam bentuk sudut (90+x)04. Menentukan nilai trigonometrisudut berelasi di kuadran II dalam bentuk sudut (180-x)0Catatan: 1.Jika soal latihan kalian memperoleh nilai <70% maka kembali pelajari dan ulang kembali pembelajaran 1 dari awal. 2.Jika dari ceklist yang kalian buat <80% tidak atau kurang dikuasai, maka kembali pahami dan ulang kembali kegiatan pembelajaran 1 dari awal.
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 19 KEGIATAN PEMBELAJARAN 2 SUDUT – SUDUT BERELASI PADA KUADRAN III DAN IV A.Tujuan Pembelajaran Setelah kegiatan pembelajaran 2 ini diharapkan dapat: 1.Menentukan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut yang berelasi di kuadran III2.Menentukan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut yang berelasi di kuadran IVB.Uraian Materi Pada pembelajaran ini kalian akan melanjutkan untuk membahas sudut berelasi untuk sudut yang berada pada kuadran III dan kuadran IV. Sama seperti pada pembelajaran sebelumnya, maka pada pembelajaran kali ini kita juga akan mendapatkan 4 (empat) bentuk sudut berelasi. BAGIAN 1. SUDUT BERELASI PADA KUADRAN III Sudut untuk 00 < x < 900, memiliki relasi dengan sudut-sudut di kuadran III meliputi relasi sudut dengan sudut (270− )atau relasi sudut sudut dengan sudut (180+ )a)Relasi sudut dengan sudut (270− )Diketahui sebuah lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari r, titik P(x,y) dan = ′
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 20 Untuk mendapatkan relasi sudut dengan sudut (270− ) maka cerminkan titik P(x,y) terhadap garis y = x dan dilanjutkan dengan rotasi sejauh 1800 berlawanan arah jarum jam. Berdasarkan data di atas, maka diperoleh: Nilai Perbandingan Trigonometri Kesimpulan Sudut dengan P(a,b) Sudut (270−) dengan Q’(-y, -x) Relasi sudut dengan sudut (270−)=(270−)=−(270−)=−=(270−)=−(270−)=−=(270−)=(270−)=1Dari tabel di atas terdapat beberapa perbandingan trigonometri sudut dengan sudut (270− ) yang bernilai sama dengan tanda positif dan negatif yang berbeda/sama. b)Relasi sudut dengan sudut (180+ )Diketahui sebuah lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari r, titik P(x,y) dan = ′Untuk mendapatkan relasi sudut dengan sudut (180+ ) maka cerminkan titik P(x,y) dirotasikan sejauh 1800 berlawanan arah jarum jam.
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 21 Berdasarkan data di atas, maka diperoleh: Nilai Perbandingan Trigonometri Kesimpulan Sudut dengan P(a,b) Sudut (180+) dengan Q’(-y, -x) Relasi sudut dengan sudut (180+)=(180+)=−(180+)=−=(180+)=−(180+)=−=(180+)=(180+)=Dari tabel di atas terdapat beberapa perbandingan trigonometri sudut dengan sudut (180+ ) yang bernilai sama dengan tanda positif/negatif yang berbeda/sama. BAGIAN 2. SUDUT BERELASI PADA KUADRAN IV Sudut untuk 00 < x < 900, memiliki relasi dengan sudut-sudut di kuadran IV meliputi relasi sudut dengan sudut (270+ )atau relasi sudut sudut dengan sudut (360+ ). a)Relasi sudut dengan sudut (270+ )Berdasarkan data di atas, maka diperoleh: Diketahui sebuah lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari r, titik P(x,y) dan = ′. Untuk mendapatkan relasi sudut dengan sudut (270+ ) maka cerminkan titik P(x,y) terhadap garis y = x dan dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu-x.
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 22 Nilai Perbandingan TrigonometriKesimpulanSudut dengan P(a,b) Sudut (270+) dengan Q’(y, -x) Relasi sudut dengan sudut (270+)=(270+)=−(270+)=−=(270+)=(270+)==(270+)=−(270+)=−1Dari tabel di atas terdapat beberapa perbandingan trigonometri sudut dengan sudut (270+ ) yang bernilai sama dibedakan tanda negatif atau positifnya b)Relasi sudut dengan sudut (360− )Berdasarkan data di atas, maka diperoleh: Diketahui sebuah lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari r, titik P(x,y) dan = ′. Untuk mendapatkan relasi sudut dengan sudut (360− ) maka cerminkan titik P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu-x. Diketahui sebuah lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari r, titik P(x,y) dan = ′Untuk mengetahui relasi sudut dengan sudut (180− ), maka titik P(x, y) diputar sejauh 900 berlawanan arah jarum jam.
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 23 Berdasarkan di atas, maka diperoleh: Nilai Perbandingan Trigonometri Kesimpulan Sudut dengan P(a,b) Sudut (360−) dengan Q’(y, -x) Relasi sudut dengan sudut (270+)=(360−)=−(360−)=−=(360−)=(360−)==(360−)=−(360−)=−Dari tabel di atas terdapat beberapa perbandingan trigonometri sudut dengan sudut (360− ) yang bernilai sama dibedakan tanda negatif atau positifnya C.Rangkuman Berdasarkan pembahasan di atas, maka sudut-sudut berelasi pada kuadran I dan II dapat disimpulkan sebagai berikut: KUADRAN III (270−)=− (270− )= − (270−)=1(180+)=− (180+ )= − (180+ )= KUADRAN IV(270+)=− (270+ )= (270+)=−1(360−)=− (360− )= (360−)=−D.Latihan Soal Agar kalian lebih terampil dalam menentukan nilai trigonometri pada sudut-sudut yang berelasi pada kuadran III dan IV, maka pelajari beberapa latihan soal dibawah ini. 1.Tentukan nilai dari sin 24002.Tentukan nilai dari cos −3.Tentukan nilai dari 240 + 315
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 24 4.Tentukan nilai dari . 5.Tentukan nilai dari 330. [−210] − (−315) . (−330)6.Diketahui = dan a berada dikuadran III, maka tentukan nilai dari 7.Nilai dari tan 21000 adalah .... 8.Diketahui tan 25 = p, maka tentukan nilai dari
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 25 PEMBAHASAN No Pembahasan Skor Maksimal 1.sin 2400 = sin (180 + 60) = - sin 60 = −√3102. cos −=−.180=(−240)=(360−240)=(120)=−60=−1210 3. 240+315=sin (180 + 60) + cos (360-45) = - sin 60 + cos 45 =−12√3+12√2=12√2−√310 4.133.116=(780).(330)= (780 − 2.360). 30= 60 . 30 = 12√3.12√3=3410 5.330.[−210]−(−315).(−330)=30.150−45.30=12√3.12−1.3√3=14√3−√3=−34√310 6. Karena a dikuadran III, maka nilai sin a < 0, dan cos a < 0. Karena nilai =, maka dengan menggunakan perbandingan rasio segitiga siku-siku diperoleh bahwa: = √= √13, dan = √= √13. Maka: + 6 3 − = √13+ 6.√133.√13−√13= √(3 − 12)√(6 − 3)=−93=−310 7. tan 21000 = tan (5x360 + 300) = tan 300 = - tan 60 = −√310 8.205−115245+335=25+6565−25= 25 − −25= − −=(− 1)(1−)=−110 Jumlah Skor80Jumlah Nilai ℎ100
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 26 E.Penilaian Diri Berilah tanda ceklist (V) pada kotak yang kalian anggap paling sesuai. Setelah mempelajari dan mengerjakan pembelajaran 2 pada modul ini, bagaimana penguasaan kalian terhadap materi-materi berikut: No Materi Tidak MenguasaiKurang MenguasaiMenguasai1Menentukan nilai trigonometri sudut berelasi di kuadran III dalam bentuk sudut (180 - x)02.Menentukan nilai trigonometri sudut berelasi di kuadran III dalam bentuk sudut (270 -x)03. Menentukan nilai trigonometri sudut berelasi di kuadran IV dalam bentuk sudut (270 + x)04. Menentukan nilai trigonometri sudut berelasi di kuadran IV dalam bentuk sudut (360 – x )0Catatan: 1.Jika soal latihan kalian memperoleh nilai <70% maka kembali pelajari dan ulang kembali pembelajaran 2 dari awal. 2.Jika dari ceklist yang kalian buat <70% tidak atau kurang dikuasai, maka kembali pahami dan ulang kembali kegiatan pembelajaran 2 dari awal.
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 27 KEGIATAN PEMBELAJARAN 3 SUDUT LEBIH BESAR DARI 3600 DAN SUDUT NEGATIF A.Tujuan Pembelajaran Setelah kegiatan pembelajaran 3 ini diharapkan dapat: 1.Menentukan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut yang berelasi dengan sudut lebih besar dari 36002.Menentukan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut yang berelasi dengan sudut negatif.B.Uraian Materi BAGIAN 1. SUDUT LEBIH BESAR DARI 3600Kita ketahui bahwa besar sudut dalam satu kali lingkaran adalah 3600. Maka jika kita mempunyai sudut yang besarnya lebih dari 3600 sudut tersebut harus diubah terlebih dahulu menjadi bentuk ( + .360), dengan k = 1, 2, 3, 4, ..... Dengan demikian diperoleh bahwa: 1. ( + .360)= 2. ( + .360)= 3. ( + .360)= Contoh. 1. (750)= (30 + 2 360)= 30= 2. (1500)= (60 + 4 360)= 60= BAGIAN 2. SUDUT NEGATIFPerhatikan gambar berikut.
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 28 Pada gambar di atas diperoleh bahwa pada QOP = yang berlawanan arah dengan jarum jam. Sedangkan QOP’ = − adalah sudut yang berlawanan dengan arah jarum jam. Ingat kembali bahwa satu putaran lingkaran besarnya adalah 3600. Maka diperolah bahwa: 1. (−)= (360− ). Karena sudut (−) berada dikuadran IV, maka nilai sinus bernilai negatif, maka diperoleh bahwa nilai (−)= (360− )= − 2. (−)= (360− ). Karena sudut (−) berada dikuadran IV, maka nilai cosinus bernilai positif, maka diperoleh bahwa nilai (−)= (360− )= 3. (−)= (360− ). Karena sudut (−) berada dikuadran IV, maka nilai tangen bernilai negatif, maka diperoleh bahwa nilai (−)= (360− )=− Contoh. 1. (−45)= − 45= −√22. (−225)= 225= (180 + 45)= − 45= −√23. − = − = − − = − = −√3C.Rangkuman 1.Jika sudut A lebih besar dari 360, mak asudut A harus diubah terlebih dahulu sehingga berbentuk ( + .360), dengan k = 1, 2, 3, 4, ....., sehingga diperoleh bahwa: ( + .360)= ( + .360)= ( + .360)= 2.Jika sudut A adalah sudut negatif, maka artinya sudut A berlawanan arah dengan jarum jam. Sehingga diperoleh bahawa: (−)= − (−)= (−)= − D.Latihan Soal Untuk lebih memahami materi terkait dengan nilai rasio trigonometri untuk sudut yang berelasi dengan besar sudut lebih besar dari 3600 dan sudut negatif, maka kerjakan soal-soal di bawah ini sebagai latihan. 1.Nilai dari Sin 4800 = .... A.√3B.√3C.√3D.√3
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 29 E.√32.Nilai (−1530). (2010)= ⋯.A.-1 B.0 C.√3D.√3E.3.Nilai sin 1500 + cos 5100 + tan 41100 – tan 2100 adalah .... A.−√3B.+√3C.−√3D.+√3E.√3−4.Nilai − adalah ....A.-1 B.−C.0D.E.1 5.Nilai dari 150+ 45 + (−330)= ....A.√3B.−√3C.√2D.−√2E.1
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 30 PEMBAHASAN 1. Jawaban : A Pembahasan: sin 4800 = sin (1 x 3600 + 1200) = sin 1200 = - sin 600 = √32.Jawaban : BPembahasan: Ingat bahwa cos _(-a) = cos a. (−1530). (2010)= (4.360+ 90). (5 360+ 210)=90.30=013√3=03.Jawaban: CPembahasan: sin 1500 + cos 5100 + tan 41100 – tan 2100 = sin 1500 + cos (3600 + 1500) + tan (11 x 3600 +1500)– tan 2100 = = sin 1500 + cos 1500 + tan 1500 – tan 2100= + −√3−√3−√3= −√3−√3=−√34.Jawaban : APembahasan: −2=−2=−15.Jawaban : CPembahasan : 150+ 45 + 12 (−330)= − 30+ 45− 121 330=−12√3+12√2−12.1−√=−12√3+12√2+12√3=12√2
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 31 E.Penilaian Diri Berilah tanda ceklist (V) pada kotak yang kalian anggap paling sesuai. Setelah mempelajari dan mengerjakan pembelajaran 3 pada modul ini, bagaimana penguasaan kalian terhadap materi-materi berikut: No Materi Tidak MenguasaiKurang MenguasaiMenguasai1 Menentukan nilai trigonometri sudut berelasi dengan besar sudut lebih dari 36002. Menentukan nilai trigonometri sudut berelasi dengan besar sudut negatif Catatan: 1.Jika soal latihan kalian memperoleh nilai <70% maka kembali pelajari dan ulang kembali pembelajaran 3 dari awal. 2.Jika dari ceklist yang kalian buat <50% tidak atau kurang dikuasai, maka kembali pahami dan ulang kembali kegiatan pembelajaran 3 dari awal.
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 32
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 33 EVALUASI PILIHLAH JAWABAN YANG BENAR 1.Nilai dari cos 75– sin 165 adalah ... A.241B.0 C.641D.221E.1 2.Nilai dari . . . = ⋯A.−1B.0 C.1 D.Tan 200E.Sec 2003.Nilai dari sin 75 – cos 15 + cos 45 = ... A.√3B.√2C.√2D.√2E.14.Nilai dari ∘ ∘ ∘ ∘= .... A.– 3B.–2C.31D.2 E.-1 5.Nilai cos 11100 adalah .... A.√3B.√3C.-√3D.−√3E.6.Hasil dari 102cos138cos63sin27sin= ...A.−√2B.−√C.1D.√E.√2
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 34 7.Nilai dari = ...A.−1 −√3B.−1 C.2 −√3D.1 E.2 +√38.Jika 54= , maka 36= ⋯A.B.−C.D.E. − 19. = dengan < <, maka − = ⋯ A.−B.C.−D.E.−10.Jika tan 400 = a maka nilai dari . = ⋯A. B. C. D. E.√ 11.Jika a = 2100, maka: 1)2 ( + )= 1 + √32) + = √33) + = −1 + √34) + = −3 + √3Pernyataan yang benar adalah .... A.1), 2) dan 3) B.1) dan 3) C.2) dan 4) D.4) saja E.Semua pernyataan benar 12.Nilai dari = ⋯.A.√2− √3− √6B.√2+ √3+ √6C.−√2+ 2√3+ √6D.−√2+ √3− 2√6E.−√2+ √3+ 2√6
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 35 13.Jika = √5, maka − 5 + + 2( − )= ⋯.A.−√B.−√5C.√5D.√5E.√514.Diketahui tan x = 2,4 dengan x berada di kuadran III. Nilai cos x adalah .... A.−B.−C.D.E.15.sin 3000 + cos 450 + tan (-3000) = .... A.−√3B.−√2C.√2D.√3E.√216.tan (-450) + sin 1200 + cos 2250 – cos 300 = .... A.+ √2B.− √2C.−− √2D.−1 − √2E.1 − √217. = maka nilai dari 2 + + + ( − )= ⋯.A.√5B.1C.√5D.0 E.−√518.Jika = −√3 dan x terletak pada kuadran II, maka nilai tan x = .... A.√3B.C.√3D.−√3E.−√3
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 36 19. . . . = ⋯.A.−B.√2C.1D.-2 E.2 20.cos 12000 setara dengan .... A.−√3B.−√2C.−D.√3E.
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 37 KUNCI JAWABAN. 1.B 2.C 3.C 4.E 5.E 6.D 7.A 8.A 9.B 10.D 11.D 12.C 13.E 14.B 15.C 16.D 17.C 18.D 19.D 20.C
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 38 DAFTAR PUSTAKA 2017. https://smatika.blogspot.com/2017/04/perbandingan-trigonometri-sudut-berelasi.html). April 22. Accessed September 16, 2020. Research, Tim Quantum. 2020. Super Master Pelajaran SMA/MA Kelas X Semester 1 dan 2 Saintek. Bandung: Yrama Widya. Sembiring, Suwah. 2009. Matematika Dasar. Bandung: Yrama Widya. Sulistyowati, Nuning. n.d. "Trigonometri”. Matematika.blogspot.com. Accessed September 16, 2020. Tohari, Anas. n.d. "http://belajarmatematikadanfisika.blogspot.com/2013/01/grafik-fungsi-trigonometri.html." Modul Matematika Kelas X. Accessed September 16, 2020.